problema 6 : Distancia mínima entre una canoa y una lancha, ambas en movimiento.

En los puntos A y B se encuentran respectivamente una canoa automóvil y una lancha de motor que se mueven con las velocidades constantes de Vc y Vl en las direcciones que se indica en la figura. Determinar gráficamente cuál será la distancia mínima entre la canoa y la lancha.

SOLUCIÓN:

Usaremos el concepto de velocidad relativa. Para este caso graficaremos la velocidad relativa de B respecto de A: $$\vec { { V }_{ B/A } } =\vec { { v }_{ c } } -\vec { { v }_{ l } } $$

Gráficamente la velocidad de A respecto de B se obtiene sumando por el método del paralelogramo los vectores Vc y -Vl:

De la imagen anterior, notar que un observador situado en la lancha B observará a la canoa A moverse con una velocidad VB/A .   Obviamente el observador B está en reposo respecto a sí mismo. Por tanto, la distancia mínima que el observador en B podrá medir es la distancia perpendicular entre el punto B y la línea de acción del vector  VB/A .  Gráficamente:

problema 5: Lanzamiento de un torpedo

Un torpedo es lanzado desde el punto A en el instante en que el barco enemigo se encuentra en el punto B y navega (el barco B) con la rapidez 50 Km/h formando un ángulo "beta" igual a 30º con la línea AB (ver figura). La  rapidez  del torpedo es 100 Km/h. ¿Bajo qué ángulo "alfa" hay que lanzarlo para que dé en el blanco?

SOLUCIÓN:

Suponiendo que el torpedo alcanza al barco en el punto C  (ver imagen derecha), las distancias BC y AC estarán dadas por:

$$BC={ v }_{ 1 }t\quad \quad ,\quad \quad AC={ v }_{ 2 }t$$ donde t es el tiempo transcurrido desde sus posiciones iniciales.

En el triángulo ABC se debe cumplir la famosa "ley de senos", es decir:

$$\frac { BC }{ \sin { \alpha  }  } =\frac { AC }{ \sin { \beta  }  } $$

$$\frac { { v }_{ 1 }t }{ \sin { \alpha  }  } =\frac { { v }_{ 2 }t }{ \sin { \beta  }  }$$

Despejando "alfa" y remplazando datos:

$$\sin { \alpha  } =\frac { { v }_{ 1 } }{ { v }_{ 2 } } \sin { \beta  } $$

$$\sin { \alpha  } =\frac { 50km/h }{ 100km/h } \sin { 30º } $$

$$\sin { \alpha  } =\frac { 1 }{ 4 }$$

$$\alpha =\arcsin { \frac { 1 }{ 4 }  }$$

Por tanto para que el torpedo de en el blanco, éste debe ser orientado con un ángulo de 14, 48º .

Problema 2: Cuerpos que se deslizan sobre las cuerdas de una circunferencia.

Desde el punto A, situado en el extremo superior del diámetro vertical de cierta circunferencia, por unos canales colocados a lo largo de distintas cuerdas de aquella, empiezan a deslizarse simultáneamente varios cuerpos. ¿ Al cabo de de cuánto tiempo llegan estos cuerpos a la circunferencia? ¿ Cómo depende el tiempo del ángulo de inclinación "alfa" de la cuerda respecto de la vertical ? Desprecie el rozamiento.

SOLUCIÓN:

Sea "R" el radio de la circunferencia y "B" el punto de la circunferencia donde llega un cuerpo soltado del punto A (ver figura izquierda). De la figura se observa que el segmento  $$AB=2R\cos { (\alpha ) } $$ que es la distancia que recorre el cuerpo al ser soltado. La aceleración que adquiere el cuerpo es la componente de la gravedad en la dirección de AB $$a=g\cos { \alpha  }$$

Como el cuerpo parte simultaneamente, es decir, con velocidad inicial cero, su desplazamiento está dado por  $$AB=\frac { 1 }{ 2 } a{ t }^{ 2 }$$ entonces $$2R\cos { \alpha  } =\frac { 1 }{ 2 } (g\cos { \alpha  } ){ t }^{ 2 }\\ t=2\sqrt { \frac { R }{ g }  } $$

Podemos concluir que el tiempo que un cuerpo demora en llegar a la circunferencia no depende del ángulo alfa. Por tanto si se sueltan varios cuerpos a través de varias cuerdas, todos llegaran a la circunferencia al mismo tiempo.