martes, 21 de julio de 2015

problema 17: Gota de barro que se desprende de una rueda en movimiento.

Una rueda de radio R rueda uniformemente sobre una superficie horizontal. Del punto A se desprende una gota de barro (ver imagen) ¿Con qué velocidad v se mueve la rueda si la gota, después de estar en el aire, vuelve a caer sobre el mismo punto de la rueda?



Solución:

La gota de barro antes de desprenderse de la rueda tiene dos velocidades, la velocidad wR como consecuencia del giro de la rueda y la velocidad v de traslación de la rueda. Al desprenderse de la rueda, la gota de barro se mueve en el aire con movimiento parabólico. En el instante mostrado  en la imagen derecha, la bola de barro sale disparada, por tanto, con velocidad vertical wR y velocidad horizontal v. 
Calculemos el tiempo en que la gota sube y vuelve a caer en el mismo punto. Este tiempo es el doble del tiempo en  que la bola de barro llega a su altura máxima por tanto tenemos $$t=\cfrac { 2\omega R }{ g }$$
Ahora analicemos la distancia que la rueda se traslada hasta que la gota vuelve a caer. Como la gota, según el problema, vuelve a caer sobre el mismo punto de la rueda, ésta ha dado un numero entero de vueltas n, por tanto la distancia d tiene una longitud que es un múltiplo entero de la longitud de la circunferencia de la rueda. Esto es $$d=(2\pi R)n$$ Pero esta distancia d también es el desplazamiento  horizontal de la bola de barro en su movimiento parabólico. Por tanto, teniendo en cuenta el tiempo calculado, tenemos $$d=vt=v\times \cfrac { 2\omega R }{ g }$$ 
Igualando estas dos expresiones de la distancia d, tenemos $$v\cfrac { 2\omega R }{ g } =2\pi Rn$$ $$v=n\cfrac { \pi g }{ \omega  }$$ 
 Por tanto encontramos que la velocidad de traslación de la rueda depende del número de vueltas n que da y de su rapidez angular w.