lunes, 20 de julio de 2015

problema 14: Cuerpo pequeño que se desprende un disco giratorio.

Un disco liso de radio R, cuyo plano es horizontal, gira alrededor de su eje con la frecuencia n = 4 r.p.m. De la superficie del disco, a la distancia R/2 del eje, se desprende un cuerpo pequeño que se desliza sin rozamiento por el disco ¿ Al cabo de cuánto tiempo saldrá despedido del disco?

Solución:


En el instante en que el cuerpo se desprende del disco, en la posición que se observa en la imagen, éste tenía según la cinemática rotacional una velocidad $$\upsilon =\omega \frac { R }{ 2 }$$, donde w es la velocidad angular y R es el radio del disco.
Después de desprenderse, el cuerpo pequeño se mantiene con la velocidad adquirida y se desplaza en línea recta. Esto se debe que el disco es liso y no hay rozamiento mientras el cuerpo se desliza, por tanto el cuerpo pequeño se mantendrá con la velocidad adquirida  hasta abandonar el disco.
Entonces, según lo anterior, el cuerpo pequeño recorre la distancia AB con velocidad constante v. Por geometría, la distancia AB tiene el valor (ver imagen) $$AB=\cfrac { R }{ 2 } \sqrt { 3 }$$. 
El tiempo t que el cuerpo tarda en dejar el disco será $$t=\cfrac { AB }{ \upsilon  } =\frac { \cfrac { R }{ 2 } \sqrt { 3 }  }{ \omega \cfrac { R }{ 2 }  } =\cfrac { \sqrt { 3 }  }{ \omega  }$$
Solo bastará reemplazar el valor de la velocidad angular dado en el problema (4 r.p.m) haciendo la conversión correspondiente a radian por segundo. Lo importante aquí es notar que el tiempo que el cuerpo pequeño demora en dejar el disco depende solo de la velocidad angular del disco. Si en dos discos girando con igual velocidad angular, con radios diferentes e igualmente lisos, hay dos cuerpos, uno en cada disco, que se desprenden de él estando a la mitad del radio, estos tardaran el mismo tiempo en dejar los discos.