problema 9: Chorros de agua

Fig 1

De tres tubos que se encuentran en el suelo salen sendos chorros de agua con la misma rapidez, formando respectivamente ángulos de 60º, 45 y 30º con el horizonte. Hallar la relación entre las alturas máximas a que llegan los chorros y la relación de las distancias a la que caen los chorros sobre el suelo.

SOLUCIÓN

Fig 3

Fig 2

 Los chorros seguirán una trayectoria parabólica. Se demuestra que en todo movimiento parabólico la altura máxima que alcanza un cuerpo es $${ H }_{ máx }=\frac { { v }^{ 2 }sin^{ 2 }\left( \alpha  \right)  }{ 2g }$$ Donde alfa es el ángulo que forman los chorros  con el horizonte  al ser lanzados (ver figuras). Las velocidades de los chorros son diferentes, pero tienen la misma magnitud (rapidez) según el problema, es decir $$\left| \overrightarrow { { v }_{ 1 } }  \right| =\left| \overrightarrow { { v }_{ 2 } }  \right| =\left| \overrightarrow { { v }_{ 3 } }  \right| =v$$ donde v es la rapidez de los chorros. 

Sean H1,  H2,  H3  las alturas máximas de los chorros, tenemos para cada chorro, según lo anterior: $${ H }_{ 1 }=\cfrac { { v }^{ 2 } }{ 2g } sin^{ 2 }\left( 60º \right) =\cfrac { { v }^{ 2 } }{ 2g } \left( \cfrac { 3 }{ 4 }  \right)$$ $${ H }_{ 2 }=\cfrac { { v }^{ 2 } }{ 2g } sin^{ 2 }\left( 45º \right) =\cfrac { { v }^{ 2 } }{ 2g } \left( \cfrac { 1 }{ 2 }  \right)$$ $${ H }_{ 3 }=\cfrac { { v }^{ 2 } }{ 2g } sin^{ 2 }\left( 30º \right) =\cfrac { { v }^{ 2 } }{ 2g } \left( \cfrac { 1 }{ 4 }  \right)$$

La proporción de las alturas será $$\frac { 4 }{ 3 } { H }_{ 1 }=2{ H }_{ 2 }=4{ H }_{ 3 }$$ $$\\ \rightarrow \quad \frac { { H }_{ 1 } }{ 3 } =\frac { { H }_{ 2 } }{ 2 } =\frac { { H }_{ 3 } }{ 1 }$$  

Las distancia máxima horizontal o alcance máximo de un movimiento parabólico está dada por $${ d }_{ máx }=\cfrac { { v }^{ 2 }\sin { 2\alpha  }  }{ g }$$ Para los chorros tenemos: $${ d }_{ 1 }=\cfrac { { v }^{ 2 }\sin { (2\times 60º) }  }{ g } =\cfrac { { v }^{ 2 } }{ g } \left( \cfrac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right)$$ $${ d }_{ 2 }=\cfrac { { v }^{ 2 }\sin { (2\times 45º) }  }{ g } =\cfrac { { v }^{ 2 } }{ g }$$ $${ d }_{ 3 }=\cfrac { { v }^{ 2 }\sin { (2\times 30º) }  }{ g } =\cfrac { { v }^{ 2 } }{ g } \left( \cfrac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right)$$ Por tanto las proporciones serán $$\frac { { d }_{ 1 } }{ \sqrt { 3 }  } =\frac { { d }_{ 2 } }{ 2 } =\frac { { d }_{ 3 } }{ \sqrt { 3 }  }$$