jueves, 25 de junio de 2015

problema 11: "Movimiento parabólico" en un río

En un río, a la distancia L=90m de la orilla, está anclada una balsa. La velocidad de la corriente del río junto a la orilla es uo=0 y crece proporcionalmente a la distancia de ella de tal manera que a la distancia L la velocidad del río es uL=2m/s . Una canoa automóvil se dirige desde la orilla hasta la balsa. Respecto del agua la canoa desarrolla la velocidad v=7.2km/h ¿Cómo debe el motorista orientar la canoa al desatracar para que, sin tener que corregir después la velocidad, ésta atraque a la balsa exactamente enfrente al punto de partida? ¿Qué tiempo T demorará la canoa en recorrer el camino en estas condiciones?

SOLUCIÓN

Para analizar la situación, establezcamos primero dos sistemas de referencia; el sistema S ligado a la orilla, y el sistema S` ligado al río (ver imagen). 

Según el enunciado del problema y de acuerdo a los sistemas establecidos, la velocidad  u del río se mide respecto al sistema S y la velocidad v de la canoa se mide respecto al sistema S` .

Por tanto la velocidad Vs de la canoa medida por un observador desde la orilla (respecto al sistema S )  será: $$\overrightarrow { { V }_{ S } } =\overrightarrow { u } +\overrightarrow { v } \quad \quad \quad (1)$$
Donde, según el problema, la velocidad v es constante y la velocidad u varía en función de la distancia L. Si en el sistema S establecemos las coordenadas XY como se muestra en la imagen :


, tenemos para u: $$u=kL\quad \quad \quad (2)$$
$$\overrightarrow { u } =-kL\hat { i } \quad \quad \quad (3)$$ donde k es una constante de proporcionalidad cuyo valor podemos hallar reemplazando los valores L=90m y u=2m/s en la ecuación (2): $$2m/s=k(90m)$$
$$k=\frac { 1 }{ 45 } { s }^{ -1 }$$

Escribiendo el vector v en términos de sus componentes en los ejes X y Y , tenemos de acuerdo a la ecuación (1) y (3): $$\overrightarrow { { V }_{ S } } =-u\hat { i } +{ v }_{ x }\hat { i } +{ v }_{ y }\hat { j }$$ $$\overrightarrow { { V }_{ S } } =(-kL+{ v }_{ x })\hat { i } +{ v }_{ y }\hat { j } \quad \quad \quad (4)$$ 

Debemos notar que la distancia L de la canoa hacia la orilla viene dada por  $$L={ v }_{ y }t$$ ya que Vy es la componente vertical de Vs (ecuación cuatro) y es constante. Por tanto derivando L respecto del tiempo t : $$\frac { dL }{ dt } ={ v }_{ y }\quad \quad \quad (5)$$ 

Hallemos la aceleración del movimiento derivando Vs respecto al tiempo: $$\vec { a } =\frac { d\overrightarrow { { V }_{ S } }  }{ dt } =\frac { d }{ dt } (-kL+{ v }_{ x })\hat { i } +\frac { d{ v }_{ y } }{ dt } \hat { j }$$ $$\overrightarrow { a } =-k\frac { dL }{ dt } \hat { i }$$ $$\overrightarrow { a } =-k{ v }_{ y }\hat { i } \quad \quad \quad (6)$$

Según la ecuación (6) la aceleración es horizontal (ver imagen anterior) y tiene un valor constante kVy. En todo movimiento con aceleración constante se cumple: $$\Delta \overrightarrow { r } =\overrightarrow { v } t+\cfrac { 1 }{ 2 } \overrightarrow { a } { t }^{ 2 }\quad \quad \quad (7)$$  donde $$\Delta \overrightarrow { r } :\quad vector\quad desplazamiento$$ es claro que, según las condiciones del problema (ver imagen): $$\Delta \overrightarrow { r } =\overrightarrow { { r }_{ f } } -\overrightarrow { { r }_{ 0 } } =L\hat { j }\quad \quad \quad (8)$$
Sea "theta" el ángulo que forma la canoa con la orilla al partir hacia la balsa entonces tenemos para Vx Y Vy : $${ v }_{ x }=v\cos { \theta  } \quad \quad y\quad \quad { v }_{ y }=v\sin { \theta  } \quad \quad \quad (9)$$
Reemplazando (6),(8) y (9) en (7),  tenemos: $$L\hat { j } =(v\cos { \theta  } { \hat { i }  }+v\sin { \theta  } \hat { j } )t+\cfrac { 1 }{ 2 } (-kv\sin { \theta  } \hat { j } ){ t }^{ 2 }$$ $$L\hat { j } =(v\cos { \theta  } t-\cfrac { 1 }{ 2 } kv\sin { \theta  } { t }^{ 2 })\hat { i } +v\sin { \theta  } t\hat { j }$$ de donde $$v\cos { \theta  } t-\cfrac { 1 }{ 2 } kv\sin { \theta  } { t }^{ 2 }=0\quad \quad y\quad \quad L=v\sin { \theta  } t$$ Resolviendo las dos ecuaciones anteriores: $$t=\cfrac { L }{ v\sin { \theta  }  } \quad \quad y\quad \quad \cos { \theta  } =\cfrac { kL }{ 2v }$$
Remplazando datos (tomar en cuenta que 7.2km/h=2m/s), primero resolviendo para el ángulo "theta" y luego para el tiempo t: $$\cos { \theta  } =\cfrac { \cfrac { 1 }{ 45 } { s }^{ -1 }\times 90m }{ 2\times 2m/s } =0.5\quad \rightarrow \quad \theta =60º$$ $$t=\cfrac { 90m }{ 2m/s\sin { 60º }  } \approx 52s$$

Por tanto el motorista de la canoa deberá orientarla formando un anguló de 60º con la orilla en dirección contraria a la corriente del rió (ver imagen inicial). El tiempo que tardará en llegar a la balsa es aprox. 52 segundos.