lunes, 22 de junio de 2015

Problema 2: Cuerpos que se deslizan sobre las cuerdas de una circunferencia.



Desde el punto A, situado en el extremo superior del diámetro vertical de cierta circunferencia, por unos canales colocados a lo largo de distintas cuerdas de aquella, empiezan a deslizarse simultáneamente varios cuerpos. ¿ Al cabo de de cuánto tiempo llegan estos cuerpos a la circunferencia? ¿ Cómo depende el tiempo del ángulo de inclinación "alfa" de la cuerda respecto de la vertical ? Desprecie el rozamiento.



SOLUCIÓN:

Sea "R" el radio de la circunferencia y "B" el punto de la circunferencia donde llega un cuerpo soltado del punto A (ver figura izquierda). De la figura se observa que el segmento  $$AB=2R\cos { (\alpha ) } $$ que es la distancia que recorre el cuerpo al ser soltado. La aceleración que adquiere el cuerpo es la componente de la gravedad en la dirección de AB $$a=g\cos { \alpha  }$$

Como el cuerpo parte simultaneamente, es decir, con velocidad inicial cero, su desplazamiento está dado por  $$AB=\frac { 1 }{ 2 } a{ t }^{ 2 }$$ entonces $$2R\cos { \alpha  } =\frac { 1 }{ 2 } (g\cos { \alpha  } ){ t }^{ 2 }\\ t=2\sqrt { \frac { R }{ g }  } $$

Podemos concluir que el tiempo que un cuerpo demora en llegar a la circunferencia no depende del ángulo alfa. Por tanto si se sueltan varios cuerpos a través de varias cuerdas, todos llegaran a la circunferencia al mismo tiempo.