martes, 23 de junio de 2015

Problema 3: Cuerpo que cae rebotando en las paredes de una ranura.

Un cuerpo pequeño se desliza con la rapidez v =10 m/s por un plano horizontal, aproximándose a una ranura. La ranura está formada por dos paredes verticales paralelas situadas entre sí a la distancia d=5cm. La velocidad v es perpendicular a las paredes. La profundidad de la ranura es H=1m ¿Cuántas veces chocará el cuerpo con las paredes antes de caer al fondo? Suponer que los choques con la pared son perfectamente elásticos.

SOLUCIÓN

En la imagen izquierda se tiene un esquema del enunciado del problema. Notar que cada choque del cuerpo con las paredes está numerado y que el último choque es el número "n".

Según el problema, los choques del cuerpo con las paredes son perfectamente elásticos, esto es, que la rapidez del cuerpo antes y después del choque conserva su valor v. Esto implica que el tiempo t entre cada choque es el mismo e igual a $$t=\frac { d }{ v } \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
No olvidar que el cuerpo está bajo la acción de la gravedad y que por tanto su movimiento vertical es el de caída libre con velocidad inicial cero (su rapidez antes de entrar a la ranura es horizontal y es la que produce los choques con las paredes). Entonces el tiempo total T que el cuerpo tarda en caer al fondo está dado por $$H=\frac { 1 }{ 2 } g{ T }^{ 2 }\\ T=\sqrt { \frac { 2H }{ g }  } \quad \quad \quad \quad \quad (2)$$

Si el número de choques es n, el tiempo entre cada choque es t y el tiempo total de caída es T, entonces debe cumplirse la relación: $$nt\quad \le \quad T$$ La desigualdad en la expresión anterior se debe a que el último choque del cuerpo con las paredes se puede dar de dos maneras:



Recordemos que n es un número entero, entonces remplazando las ecuaciones (1) y (2) en la desigualdad anterior: $$n\frac { d }{ v } \quad \le \quad \sqrt { \frac { 2H }{ g }  } \\ n\quad \le \quad \frac { v }{ d } \sqrt { \frac { 2H }{ g }  } \\ n\quad \le \quad \frac { 10\quad m/s }{ 0.05\quad m } \sqrt { \frac { 2\times 1m }{ 9.82\quad m/{ s }^{ 2 } }  } \\ n\quad \le \quad 90.26\\ n\quad =\quad 90$$

Por tanto el cuerpo choca 90 veces con las paredes de la ranura durante su caída. Hay que observar que el resultado nos indica que el último choque se da como el caso dos de la imagen anterior.