domingo, 11 de octubre de 2015

problema 4: Bolita que se mueve por dos canales.



Una bolita se mueve sin rozamiento una vez por el canal ABC y otra por el canal ADC (ver figura). Las partes de los canales AD y BC son verticales, y los ángulos ABC y ADC están redondeados. Representar gráficamente para ambos casos cómo depende la rapidez v de la bolita del tiempo t, si AB=BC=CD=AD=h. La rapidez de la bolita en el punto A es nula. ¿Por cuál de loa caminos llegará antes la bolita al punto C?



SOLUCIÓN:

Analizamos el movimiento de la bolita por tramos.

Primero veamos el tramo AB. En este tramo la bolita tiene una aceleración que es la componente de la gravedad en la dirección de AB, En consecuencia, rapidez en este tramo esta dad por: $$v=g\sin { \alpha  } t\quad \quad \quad \quad (1)$$

En el tramo vertical BC es la misma gravedad, por tanto: $$v={ v }_{ B }+gt$$
Graficando las ecuaciones (1) y (2),  tenemos la grafica para la trayectoria ABC:


Ahora anañizemos los tramos AD y DC. En el tramo AD la aceleración es la gravedad, por tanto: $$v=gt\quad \quad \quad \quad (3)$$
En el tramo DC la aceleración es la componente de la gravedad en la dirección de DC. Por tanto: $$v={ v }_{ D }+g\sin { \alpha  } t\quad \quad \quad (4)$$
Graficando las ecuaciones (3) y (4), teniendo en cuenta que $${ v }_{ D }=\sqrt { 2gh }$$